OLS 线性回归（最小二乘建模）

一句话

OLS（普通最小二乘）找一条直线/超平面 Y=β₀+β₁X₁+…，让「预测误差的平方和」最小。它是量化里做协整残差、因子对收益回归、β 与对冲比率估计的通用建模工具。

当前理解

模型与目标

• 模型：Y = β₀ + β₁X₁ + … + βₙXₙ + ε，有 k 组数据。
• OLS 估计 b，使 Σ(y(t) − b₀ − b₁x₁(t) − … − bₙxₙ(t))² 最小。
• 「线性」指对参数 β 线性，不是对变量 X 线性——把 X²、X·Z 造列当新变量，仍是线性回归（只要幂次/组合已知）。

工具用法（statsmodels，量化课堂 32）

• 五步：sm.OLS(endog, exog) → 记得 sm.add_constant()（statsmodels 默认没有常数项，漏加会整体偏）→ .fit() 才算 → params 取系数 → summary()/fittedvalues。
• 哑变量：分类变量转 {0,1} 指示向量（sm.categorical(..., drop=True)），与连续变量并行进同一回归，不是「分段各回归一次」。
• 数据口径：行情用 get_price(...) 或 attribute_history，见 聚宽行情与财务数据获取 API。

量化里的三个用途

• 协整残差回归：ln(A)=A+B·ln(B) 取残差做 ADF，判断两标的有没有长期均衡（配 协整（非平稳序列的平稳线性组合）；实例在 15 篇）。
• β 与 α 回归：收益对市场收益回归，斜率 = β（大盘敏感度）、截距含 α（超额）——CAPM 系列 19–21 篇的做法（见 风险收益权衡、β与CAPM、Alpha 对冲（卖空股指期货剥掉系统性风险））。
• 因子建模：历史 α 对一组财务因子回归，预测下期 α（21 篇）；多因子打分的主流进阶路线（见 因子选股（排名 / 打分 / 阈值筛选））。
• 真数据演示：2015 年上证日收益对深证日收益回归得 y≈0.002+0.9991x，两指数日收益几乎同步。

来源

• Statsmodels 统计包之 OLS 回归 — OLS 概念、statsmodels 用法、多项式/哑变量、上证-深证演示（量化课堂 32，postId=1786）
• 股指期货跨期套利策略 — 协整建模里的残差回归（量化课堂 15，postId=4296）
• CAPM+APT 多因子模型 — 因子对历史 α 的回归建模（量化课堂 21，postId=1955）
• 关联：协整（非平稳序列的平稳线性组合）（残差平稳性检验）、均值回归（买超跌赌反转）（价差回归的另一写法）、风险收益权衡、β与CAPM

常见混淆

• 相关 ≠ 因果，拟合好 ≠ 可外推：OLS 只保证样本内误差平方最小，不保证关系对未来成立；样本外要靠检验与逻辑。
• 「多项式回归」仍是线性回归：高次项被当成新自变量，参数仍是线性的；前提是幂次清单已知（不知道 X^2.5 就拟合不准）。
• 哑变量 ≠ 选择器：它和连续变量在一次回归里并行起作用；把三段数据拆开各回归一次是错误理解。
• 漏常数项：statsmodels 默认无截距，忘记 add_constant() 是新手最常见的坑。
• OLS ≠ 整个统计推断：32 篇只讲拟合，没讲系数显著性、p 值、多重共线性——这些是另一层问题。

开放问题

• 推断统计（显著性、置信区间）、稳健标准误、多重共线性处理不在本库素材内 [需要验证]，落地用回归结论前要补。
• 回归系数估计对异常值/噪声敏感（最小化平方和放大了大误差的影响）——去极值见 因子预处理（去极值、标准化与市值/行业中性化）。
• statsmodels 的版本演进与 2016 语境差异；API 主流程稳定，细节以官方文档为准。
• 因子对 α 回归的方向性结论（21 篇买预测 α 最大 vs 20 篇买 α 最小）在既有页面已标注矛盾，回归本身是中性的建模工具。