Statsmodels 统计包之 OLS 回归

量化课堂第 32 篇（postId=1786，作者 Haozun、肖睿，编辑宏观经济算命师，难度入门、深度 level-0，2016-07-13 上线，v1.2 于 2016-09-09 修正公式）。一篇纯工具文：教你在 Python（statsmodels）里跑最常用的 OLS 回归——怎么喂数据、常数项从哪来、怎么取系数与摘要、高次项与哑变量怎么做，最后用「上证/深证日收益」做一个真数据演示。它是第 15 篇（协整残差回归）、第 19–21 篇（β 与 α 回归）背后的通用建模工具。素材见 raw/collections/jq-quant-classroom/32-32-statsmodels统计包之ols回归md.md。

量化statsmodelsOLS线性回归哑变量回归分析

这是什么

一篇「statsmodels 之 OLS 回归」的函数说明书式教程。它不推导统计理论（前置要求：已会回归分析 level-0），只讲 API 怎么用、每一步为什么这样写。核心口径：statsmodels.OLS 默认不含常数项，必须自己用 sm.add_constant() 加一列 1；调用 fit() 才真正计算；params 取系数、summary() 看摘要、fittedvalues 取拟合值。

核心要点

OLS 在做什么

模型：Y = β₀ + β₁X₁ + … + βₙXₙ + ε，有 k 组数据 (y(t), x₁(t), …, xₙ(t))。
OLS 估计系数 b₀…bₙ，使误差平方和 Σ(y(t) − b₀ − b₁x₁(t) − … − bₙxₙ(t))² 最小。
statsmodels 定位：在计量的简便性上远不及 Stata 等软件；优点是能与 Python 生态（NumPy、Pandas）有效结合、提高工作效率。

API 用法（五步）

import statsmodels.api as sm。
sm.OLS(endog, exog)：endog = 因变量 y(t)（长度 k 的 array）；exog = 自变量，是 k×(n+1) 矩阵——它不假设有常数项，所以最左一列全 1（代表 β₀）。
数据里通常没有现成的 1 列，用 sm.add_constant() 在最左侧加一列 1。
构造出的 sm.OLS(...) 只是个模型类、没算任何东西；调用 .fit() 才做回归，得到结果对象。
results.params 取系数 b₀…bₙ；results.summary() 打印完整摘要（表中间偏下的 coef 列是系数）；results.fittedvalues 取拟合的 y。

三个演示

一元线性（Y = 1 + 10X）：nsample=100；x = np.linspace(0,10,100)；X = sm.add_constant(x)；beta=[1,10]；y = np.dot(X,beta) + 正态噪声。结果 params ≈ [1.045, 9.972]，很接近真实 [1,10]。
高次多项式（Y = 1 + 0.1X + 10X²）：关键思想——Y 对 X 非线性没关系，只要知道所有幂次，把 X、X² 当作两个自变量（np.column_stack((x, x**2))）就还是线性回归（对参数线性）。结果 params ≈ [0.951, 0.102, 9.9998]。反例：若真实关系里有 X^2.5 而你不知道，线性回归就拟合不准。
哑变量：分类变量（性别/婚姻/行业）只有有限取值、本身构不成线性关系，映射到「{0,1} 向量」后就能线性表达。d 种取值 → d 元组，所在类别位置为 1（a→(1,0,0,0)…）。sm.categorical(groups, drop=True) 直接把类别转成哑变量。示例：Y = 10 + X + Z₁ + 3Z₂ + 8Z₃，nsample=50（前 20 个 a、20–39 个 b、后 10 个 c），beta=[10,1,1,3,8]。

真数据演示：上证对深证的日收益

假设 y（深证成指日收益率）= β₀ + β₁·x（上证指数日收益率）。
get_price(['000001.XSHG','399001.XSHE'], start_date='2015-01-01', end_date='2016-01-01', frequency='daily', fields=['close'])['close'] 取一年收盘价。
收益率逐个算：x_pct.append(x_price[i]/x_price[i-1]−1)。
sm.add_constant(x) 后 sm.OLS(y,X).fit() → 结果 y = 0.002 + 0.9991x，作者说「合情合理，四舍五入就是 y=x」——大盘与深市日收益高度同步、斜率接近 1。

结语口径

线性回归应用极广；量化课堂应用类策略里「相当多」用到线性回归，未来会在相关应用文里挂回本文链接，形成体系。

机制 / 论证

为什么 exog 要加一列 1：statsmodels 不自动假设常数项；模型 Y = β₀X₀ + β₁X₁ + … 里令 x₀(t)=1，β₀ 才有落点。漏掉 add_constant 会把常数项并进误差、系数整体偏移——这是本工具最常见的坑。
为什么「高次多项式」仍叫线性回归：线性回归的「线性」指对参数 β 线性，不是对变量 X 线性。把 X² 当新变量 X₂，Y 与 (X, X², …) 就是高元线性关系；前提是幂次清单已知。
为什么哑变量是「并行影响因素」不是「选择器」：哑变量与连续变量同时进同一回归，一次 fit 完成；初学者易误以为它在「选段」，实际图中三段式台阶是一次高维回归投影到平面上的结果，不是分了 3 段各回归一次。
为什么加噪声再回归：三个演示都用「真实系数生成 y + 正态噪声」再回归——回归结果逼近真实系数，说明方法能还原生成关系（params 接近 beta 就是证据）。

可操作

statsmodels OLS 最小模板：
1. import statsmodels.api as sm；
2. X = sm.add_constant(自变量矩阵)（无常数项时必做）；
3. model = sm.OLS(y, X)；
4. res = model.fit()；res.params（系数）、res.summary()（表）、res.fittedvalues（拟合值）。
哑变量：sm.categorical(groups, drop=True)；drop=True 表示去掉原始类别取值列。输出 k×d（drop=False 则 k×(d+1)）。
高次/交互项：X = np.column_stack((x, x**2, x1*x2)) 手动造列即可，只要幂次已知。
本量化课堂系列里 OLS 的三个用途：协整残差回归（第 15 篇 lnF₂=A+B·lnF₁）、CAPM β 与 α 回归（第 19–21 篇）、以及对冲比率的估计。
get_price 数据口径：frequency='daily'、fields=['close']，返回多股票 DataFrame（研究/策略两用，见聚宽行情与财务数据获取 API）。

术语

OLS：ordinary least square，普通最小二乘——让误差平方和最小的系数估计。
endog / exog：因变量 / 自变量（explanatory variable）。
常数项（截距 β₀）：模型里不随 X 变的基线项。
拟合值 fittedvalues：回归线（超平面）给每个样本的预测 y。
哑变量（dummy variable）：把分类变量转成的 {0,1} 指示向量。
多项式回归：把 X 的各次幂当多个自变量做的（参数）线性回归。

不确定 / 待验证

本文是 API 教程，不含推断统计（系数显著性、p 值、置信区间）、多重共线性、稳健标准误等内容——summary() 输出里的统计量本文没解释 [需要验证]。
文中错误拼写照录不纠（「matplotlib.pyploft」「gradiet」等），不影响语义。
一元例子的随机噪声没设 seed，数字每次运行略不同；文中给的 params ≈ [1.0451, 9.9724] 是某次运行结果。
get_price 一年区间取的是 2015-01-01~2016-01-01（含 2015 年股灾），「y≈x」是这一年的样本结论，不是跨期普适规律。
statsmodels 版本语境为 2016–2017；API 主流程（add_constant/OLS/fit/params）至今稳定，细节以官方文档为准。