第 33 篇

数学规划简介

量化课堂第 33 篇（postId=3293，作者肖睿，编辑宏观经济算命师，难度进阶上、深度 level-0，2016-10-18 上线，v1.1 于 2016-11-08 修正逻辑问题）。数学工具组的「总纲」：把「在资源与条件限制下最大化/最小化某个目标」这件量化里天天做的事，整理成标准格式与问题分类（线性/二次/凸/非线性规划），为后续两篇（第 34 篇线搜索、第 35 篇拉格朗日乘子）和组合优化（MPT，第 22/23 篇）铺语法。素材见 raw/collections/jq-quant-classroom/33-33-数学规划简介md.md。

量化数学规划线性规划二次规划凸规划非线性规划

这是什么

一篇纯概念的总览文（不涉及任何理论与算法）。它给数学规划（mathematical programming，又名数学优化）定标准形式、教你怎么把 max/≥/等式统统折算成统一格式、再按「函数长什么样」把问题分成四类并说明各类的难度。它的直接落点：资产配置问题——「本金 100、最坏损失不超 10、最大化预期收益」就是一个标准的线性规划。

核心要点

数学规划的标准形式

一般形式：最小化 f(x)，满足 cᵢ(x) ≤ bᵢ（i=1…k），x ∈ Rⁿ。
角色分工：f 是目标函数（objective）；cᵢ(x) ≤ bᵢ 是约束（constraint）；所有满足约束的点的集合 Ω 叫可行区域（feasible region）。

资产配置的完整例子（贯穿全文）

两资产：资产 1 平均年收益 10%、最坏亏 20%；资产 2 平均 5%、最坏亏 5%。均可无限拆分。本金 100。
目标：最坏损失不超过 10（本金的 10%），最大化预期收益。
设 x₁、x₂ 是投在两类资产上的净值。预期收益 f = 0.1x₁ + 0.05x₂（要最大化）。
约束一（不超本金）：x₁ + x₂ ≤ 100。约束二（最坏损失可控）：0.2x₁ + 0.05x₂ ≤ 10。
矩阵写法：最大化 [0.1 0.05]·[x₁;x₂]，满足 [[1,1],[0.2,0.05]]·[x₁;x₂] ≤ [100;10]。

格式折算技巧（为什么标准格式能装下一切问题）

最大化 f(x) = 最小化 −f(x)（最优解相同，只差符号）。
≥ 约束：cᵢ(x) ≥ bᵢ 等价于 −cᵢ(x) ≤ −bᵢ。
等式约束：cᵢ(x) = bᵢ 等价于「cᵢ(x) ≤ bᵢ 且 −cᵢ(x) ≤ −bᵢ」两个不等式交集。
写具体问题时爱用什么格式都行；统一标准格式只为了方便整体研究优化理论。

四类问题（包含关系，不是并列）

线性规划（LP）：f 与所有 cᵢ 都是线性函数。矩阵形式：最小化 cᵀx、满足 Ax ≤ b。线性函数结构强（「直线从哪里看都一样」），所有 LP 都能在多项式时间内找到最优解。上面资产配置的例子就是 LP。
二次规划（QP）：最小化 ½xᵀQx + cᵀx、满足 Ax ≤ b；Q 是对称矩阵。难度取决于 Q：Q 正定（特征值全 >0）→ 多项式时间可解；Q 不定（有 <0 的特征值）→ 一般是 NP-难的。任何 LP 都是 QP（把 Q 设成零矩阵）。
凸规划（convex programming）：先有凸函数——对任意 x、x′ 和 λ∈[0,1]，f(λx+(1−λ)x′) ≤ λf(x)+(1−λ)f(x′)。直观：函数图像上任意两点的连线不跑到图像下方。若 f 与所有 cᵢ 都凸 → 凸规划。好处用「圆珠滚动」类比：凸函数里圆珠一路滚到全局最低点；不凸的函数会停在局部低点。但很多凸规划问题仍是 NP-难的。QP 若 Q 半正定则是凸规划；Q 不定则二次目标不是凸函数。
非线性规划（NLP）：f 与 cᵢ 都连续。类别名「有点名不副实」——LP 其实也是 NLP，只是太简单不需要 NLP 理论，「非」字指「线性以外的问题」。覆盖面极广，很多未解数学难题都能写成 NLP → 研究时一般加额外条件（f 可导/光滑、导数 Lipschitz、可行域凸等）。其余所有类别都是它的子类。

结语口径

本篇只给分类不给算法；后续量化课堂文章讲各类的理论、解题算法与应用。

机制 / 论证

为什么按「函数形状」分类：四类不是并列，而是（很大程度上）包含关系。小类别问题少、但结构一致、有高效通用算法；大类能装的问题多、结构差、更难解。分类 = 预告「该用什么档位的算法」。
为什么 QP 的难度挂在 Q 上：二次项 xᵀQx 的好坏由矩阵 Q 决定。Q 正定（特征值全正）时二次曲面是「碗」，容易找底；Q 不定时曲面有鞍点/脊，全局最优难找——复杂度随特征值符号跳档。
为什么凸性让人乐观却不能打包票：凸保证「局部低点即全局低点」（圆珠滚到底），所以找局部极小就够了；但约束与维度的复杂度仍可能让问题 NP-难——「凸 ≠ 简单」。
组合优化为什么是数学规划：MPT 的「固定收益、最小化方差」（第 22/23 篇）恰好是 QP（Σ 半正定 → 凸），这就是「组合优化的通用语言」落在实处的例子。

可操作

把现实问题改写成数学规划的口诀：先问「决策变量是什么」（资产配置里是各资产的买入额 xᵢ）→ 写目标（收益等）→ 列约束（资金上限、风险上限）→ 归并成标准形式。
资产配置的两类最常用约束（原文预告，落地在 MPT 与组合优化）：Σwᵢ=1（权重合计 1）、wᵢ≥0（不许做空）、wᵢ≤1/3 之类的单资产上限。
判断问题难度（自查顺序）：目标与约束全线性 → LP（好解）；有二次项 → 看 Q 是否（半）正定；全凸 → 至少「局部=全局」；其他 → NLP，大概率要上数值方法并加光滑性假设。
数学工具组三篇的用途链：本篇 = 把问题说清楚；第 34 篇 = 无约束问题的数值解法（线搜索）；第 35 篇 = 等式约束问题的改写（拉格朗日乘子 → 转回无约束）。MPT 的解析解（第 23 篇）就是「拉格朗日 + 二次结构」直接算出来的。

术语

数学规划 / 数学优化：在约束下最大化或最小化目标的研究分支。
目标函数 / 约束 / 可行区域：要优化的函数 / 限制条件 / 满足所有约束的点集。
线性规划（LP）、二次规划（QP）、凸规划、非线性规划（NLP）：按目标与约束函数形状划分的四类问题（含包含关系）。
凸函数：图像上任意两点连线不低于图像的函数（圆珠能滚到全局最低点）。
正定 / 半正定 / 不定矩阵：特征值全 >0 / ≥0 / 有正有负的对称矩阵；决定 QP 难度。
NP-难：没有已知多项式时间算法的一类问题（规模一大就几乎不可精确解）。

不确定 / 待验证

本篇 level-0、零算法；各分类的严格定义域（如凸规划还需约束集合凸等细节）只到口头级别，严谨谱系未展开。
「很多凸规划 NP-难」没有给具体例子或证明；LP「多项式时间可解」也没给算法（单纯形/内点）——都是断言级别。
资产配置例子的收益/损失数字（10%/20%、5%/5%）是示意值，不是真实市场数据；「可无限拆分」「可买 ½ 个或 e^π/(1+√5) 个」是模型假设，A 股一手 100 股的现实约束不在本文。
本篇没有量化（回测/策略）代码；正文为纯数学介绍，作者 2016 年预告的后续算法文即第 34/35 篇（本库已收录）。