数学规划（优化问题与分类）

一句话

数学规划（= 数学优化）研究「在资源与条件限制下，最大化或最小化某个目标」。量化里的组合配置——固定收益下最小化方差（MPT）——就是一个数学规划问题；问题属于哪一类（线性/二次/凸/非线性）决定能用什么算法。

当前理解

标准形式与折算技巧（量化课堂 33）

• 一般形式：最小化 f(x)，满足 cᵢ(x) ≤ bᵢ，x ∈ Rⁿ。f 是目标函数；cᵢ(x) ≤ bᵢ 是约束；满足约束的点集是可行区域。
• 一切都能折算成这个格式：max f = min −f；≥ 约束乘 −1；等式约束 = 两个不等式交集。
• 入门例：本金 100、两类资产（年收益 10%/最坏亏 20%；年收益 5%/最坏亏 5%），要求最坏损失 ≤10 → max 0.1x₁+0.05x₂，满足 x₁+x₂≤100、0.2x₁+0.05x₂≤10。

四类问题的包含关系与难度

• 线性规划 LP：目标与约束全线性 → 多项式时间可解（最简单）。
• 二次规划 QP：目标含 ½xᵀQx。难度看 Q：正定（特征值全正）→ 多项式；不定 → 一般 NP-难。任何 LP 都是 QP。
• 凸规划：f 与约束都凸（图像上任意两点连线不跑到图下方）。凸保证「局部极小 = 全局极小」，但很多凸问题仍 NP-难。QP 在 Q 半正定时是凸规划。
• 非线性规划 NLP：只要求连续，覆盖面极大（很多未解难题都能写成 NLP），通常要加光滑/凸性等条件才好处理。其余三类都是它的子集。
• 排序（装得下的问题从少到多、难度从易到难）：LP ⊂ QP ⊂ 凸规划 ⊂ NLP——分类 = 预告该用哪档算法。

与量化的接点

• MPT = 一个 QP：最小化 ½wᵀΣw，约束 wᵀr=μ、wᵀ1=1。Σ（协方差矩阵）半正定 → 凸规划 → 结构好。MPT 概念见 MPT 模型与有效前沿（均值-方差分析）。
• 落地要加约束：Σwᵢ=1、wᵢ≥0（不做空）、单资产上限等——这些不等式约束会让问题更接近现实也更难（34 篇结语预告）。
• 两类求解器：无约束问题的数值解法 = 线搜索（梯度下降/牛顿，34 篇，见 线搜索（无约束优化的迭代下降法））；等式约束的改写工具 = 拉格朗日乘子（35 篇，见 拉格朗日乘子（等式约束优化））。

来源

• 数学规划简介 — 标准形式、折算、四类分类与资产配置例子（量化课堂 33，postId=3293）
• MPT 模型 — MPT 优化问题的表述（量化课堂 22，postId=1991）
• MPT 模型的解析解（上） — 用凸性与解析解演示「结构好就能解」的 QP（量化课堂 23，postId=4596）
• 关联：MPT 模型与有效前沿（均值-方差分析）、线搜索（无约束优化的迭代下降法）、拉格朗日乘子（等式约束优化）

常见混淆

• 数学规划不是「编程」：programming 指「规划/安排」，与写代码无关。
• 四类不是并列：LP、QP、凸规划都是 NLP 的子集；「非」字指「线性以外」，不是说 LP 不属于 NLP。
• 凸 ≠ 简单：凸只保证局部=全局（好找底），但很多凸问题仍是 NP-难。
• QP 的难度看 Q 的特征值，不看问题「长得像不像二次」；同是二次目标，Q 正定与不定是两个世界。
• 无约束 vs 有约束是两族问题：34 篇解无约束、35 篇处理等式约束；组合优化的不等式约束（不做空等）还需 KKT，不在本库。

开放问题

• 分类的严格谱系、各档的复杂度证明与具体算法（单纯形/内点/KKT）没展开，33 篇只到断言级别 [需要验证]。
• 组合优化的不等式约束（w≥0、上限）的专用算法（如二次规划求解器）未入素材；A 股做空受限下的落地解法待补。
• 数值求解器（scipy 等）在聚宽环境的具体用法不在本库。
• 非凸问题的全局优化（多起点、退火、遗传）未覆盖。