风险模型

这是什么

把 效用模型 的效用框架用来分析风险：先纠正「高风险高回报」的误解，给出风险厌恶与风险溢价的严格定义（含 √x 算例），再用「三条船过河」的例子把分散化讲成数学（均值不变、标准差下降、预期效用上升），最后定义「理智」投资者——MPT 与 CAPM 都假设人人理智。

核心要点

风险与收益：「高风险高回报」的误解

• 反例项目：一半概率亏十万、一半概率赚十万。账面盈亏持平，但这是「高风险无回报」——正常的投资者不会投。
• 为什么：效用函数增速递减。亏十万损失的效用 > 赚十万增加的效用，平均下来是效用亏损。
• 正确理解：高风险高回报指预期收益 E[X] 高，不是可能的最大收益 max(X) 高。

风险厌恶与风险溢价

• 记号：投资回报 X、现有财富 x₀。投资的额外效用 = u(x₀+X) − u(x₀)，投资者看它的期望。
• 定义：E[R]=0 的 R 叫零收益投资。
• 命题：u 正常（P1+P2）、x₀≥0、R 零收益 ⇒ E[u(x₀+R)] ≤ u(x₀)——零预期收益的投资让正常投资者预期损失效用。
• 由此定义：效用函数正常 = 风险厌恶。
• 任何投资 X = E[X]（预期）+（X−E[X]）（零收益波动部分）。波动部分损耗效用，所以要靠 E[X] 补偿；这个补偿 E[X] 就叫风险溢价。只有溢价盖过波动的效用折损才值得投。
• 算例（u=√x，X：−10000 概率 2/5、+10000 概率 2/5、+20000 概率 1/5，E[X]=4000）：
  • 总资产 10000 时：E[u(x₁+X)] = 2/5·√0 + 2/5·√20000 + 1/5·√30000 ≈ 96.21 < u(10000)=100 → 不投。
  • 总资产 20000 时：E[u] ≈ 149.28 > u(20000) ≈ 141.42 → 投。
  • 教训：同样一个项目，资产多了就敢投——承受风险的能力随财富增长。

分散化：三条船过河

• 场景：10000 元资产要过河；每只船 50% 概率沉、船与船独立；沉船则船上资产全损。问分几条船。
• 1 条船 X₁：(10000, 1/2)、(0, 1/2)。E=5000、σ=5000、E[u]=50。
• 2 条船 X₂：(10000, 1/4)、(5000, 1/2)、(0, 1/4)。E=5000、σ≈3535.53、E[u]≈60.35 > 50。
• 3 条船 X₃：(10000, 1/8)、(6666.66, 3/8)、(3333.33, 3/8)、(0, 1/8)。E=5000、σ≈2886.75、E[u]=64.77 > 60.35。
• 趋势：船越多，分布越向均值 5000 靠拢，σ→0；E[u] 越接近 u(E[X]) = √5000 ≈ 70.71。
• 几何直觉：效用函数凹，两端点效用平均 < 中点效用；把概率从两端挪向中间（分散），预期效用就上升。

「理智」投资者的定义

• 定义：任意两个回报 X、Y，若 E[X] ≥ E[Y] 且 σ_X < σ_Y（预期更高、风险更小），投资者必选 X，则称「理智」。
• 意义：效用函数复杂时，很多情况下用标准差衡量风险就够了。
• MPT 与 CAPM 的重要假设：所有投资者都理智（都用均值-方差做决策）。

机制 / 论证

• 为什么亏损比盈利更痛：凹效用下，同样幅度往上加的效用 < 往下减的效用；所以对称的零收益赌博在效用层面是负的。
• 为什么需要风险溢价：X 的波动部分（零收益项）恒损耗期望效用，E[X] 是「贴回去」的部分；溢价必须盖过折损。
• 为什么分散化提高效用：均值不变（线性期望）、方差因独立性/部分独立性而下降（概率向中间集中），凹函数把「更集中的分布」评价得更高。核心是独立或弱相关的风险彼此抵消。
• 为什么定义「理智」：把复杂的效用决策压成「均值更大 + 方差更小就更好」，让 MPT/CAPM 可以只谈均值方差——是理论简化的关键一步。
• 这告诉读者：「鸡蛋不要放一个篮子」不是俗语，是可推导的命题——只要篮子（风险源）之间够独立，且你对风险的效用函数是凹的。

可操作

• 概念篇无策略代码。可直接套用的判断流程：
  1. 对候选项目列分布（各结果与概率），算 E[X] 与 σ_X。
  2. 用正常效用函数（√x 或 ln x）算 E[u(x₀+X)]，与 u(x₀) 比大小定投不投；E[X]>0 不代表该投。
  3. 判断分散化收益：把一个大风险源拆成 n 个独立的小风险源，均值不变、σ 按 ~1/√n 缩小，预期效用上升——但前提是风险源之间独立或低相关。
• 注意财富约束：同一项目，总资产大才敢投（算例 10000 不投、20000 投）——仓位管理要先看你赔不赔得起。
• 与后续链接：风险用 σ 衡量、「理智」假设 → MPT 模型 的均值-方差配置；「风险溢价」概念 → CAPM 里 E[r_M]−r_f。

术语

• 风险：未来收益的不确定性（用标准差 σ 近似度量）。
• 风险厌恶：效用函数正常（凹），零预期收益的投资会损失期望效用。
• 风险溢价：为补偿风险、投资者要求的预期收益 E[X]。
• 零收益投资：E[R]=0 的投资。
• 分散化：把资金摊到多个（尽量独立）风险源上，降 σ 不降均值。
• 理智投资者：只按「预期收益高 + 标准差低」取舍的投资者（MPT/CAPM 假设）。
• 独立：一件事发生不影响另一件事的概率；独立风险才完全抵消（协方差 0）。

不确定 / 待验证

• 「每条船 50% 沉、互相独立」是理想化：真实资产之间的风险几乎不独立（市场一起跌），分散化收益会打折（见 风险汇聚与分散化 的失效模式）。
• √x 算例的效用数值是作者示例；换成其他正常效用函数，结论方向不变、临界资产额会变。
• 「风险=标准差」只是简易衡量；现实中风险还有厚尾、流动性、相关性突变等维度（Yale 与行为金融有批判，见相关概念页）。
• 船例只讲「独立风险均摊」，没有给「n 条船 σ 的通用公式」，文中只给 1/2/3 条船的数字与「越分越小」的趋势。
• 本文两次引用上一篇公式（P1/P2、凹函数），个别 LaTeX 符号 raw 有丢失，本篇按数学惯例复原。

相关

• 效用模型 — 效用模型（系列第一篇，P1/P2 与凹性的来源）
• MPT 模型 — MPT 模型（系列第三篇，本篇「理智+σ」假设的直接应用）
• 效用函数与风险厌恶（预期效用假说） — 效用函数与风险厌恶共享概念页
• 风险汇聚与分散化 — 分散化的数学与失效模式（Yale 视角互证）
• 风险收益权衡、β与CAPM — 从风险溢价到 β 被定价
• 聚宽量化课堂（低频量化策略 43 篇） — 量化课堂 43 篇总览