第 24 篇

效用模型

同样的钱对不同人价值不同（一百万对普通人是巨款，对巴菲特轻如鸿毛）。效用模型把「财富 → 满足感」写成效用函数 u(x)，并要求它满足两条「正常」性质：钱越多效用越高（P1）、同样金额在钱少时比钱多时更顶用（P2）。面临不确定选项时，人不是选「期望钱最多」，而是选「期望效用最大」（预期效用假说）。本篇是量化课堂第 24 篇（postId=1772，作者肖睿，编辑宏观经济算命师，难度进阶上，深度 level-1），「从效用到 CAPM」系列第一篇。素材见 raw/collections/jq-quant-classroom/24-24-效用模型md.md。

量化效用函数风险厌恶预期效用凹函数决策

这是什么

给「钱的边际价值递减」一个严格框架，作为整套现代金融理论的逻辑起点。文章先定义效用函数与两条正常性质，证明 P2 等价于函数「凹」（凹 = 中点取值 ≥ 两端平均），再给出预期效用假说，最后用 √x 效用函数算一个「期望收益为零但期望效用为负、所以不该投」的例子。

核心要点

效用函数与两条「正常」性质

效用函数 u：输入财富总额，输出满足感/便利性（效用）。每个人不同。
性质 P1（钱多总比钱少好）：x ≤ y ⇒ u(x) ≤ u(y)。图上：曲线上升。
性质 P2（边际效用递减）：d ≥ 0 且 x ≤ y 时，u(x+d) − u(x) ≥ u(y+d) − u(y)。图上：曲线上升越来越慢。
白话例子：同样多一万块，总资产 20 万时带来的效用，比总资产 20 亿时大得多——因为穷时一万能办很多事，富时一万无所谓。
满足 P1+P2 的效用函数叫「正常」，经济学多数场合假设投资者效用正常。

P2 ⇔ 凹函数

凹函数定义：f((x+y)/2) ≥ (f(x)+f(y))/2——中点的函数值不小于两端函数值的平均。
命题：满足 P2 的函数必是凹函数（取 z=(y−x)/2 代入 P2 即证）；反之所有凹函数也满足 P2（证明需实分析，文中略）。
若 u 二次可导：P1 ⇒ u′ ≥ 0（单调升）、P2 ⇒ u″ ≤ 0（增速递减）。

预期效用假说

假说内容：面对 n 个选项，各选项的财富结果是不确定（随机变量 X₁…X_n），投资者选「E[u(X)] 最大」的那个。
结果全确定时直接挑钱最多；结果不确定时才需要效用模型来比较。
例子（u=√x，资产 x₀=25000）：
- 什么都不做 X₀：确定变动 0。
- 投资项目 X₁：一半概率赚 15000、一半概率亏 15000。
- 两个选项期望收益都 = 0，账面「不赚不亏」。
- E[u(x₀+X₀)] = √25000 ≈ 158.11；E[u(x₀+X₁)] = ½√40000 + ½√10000 = ½·200 + ½·100 = 150 < 158.11。
- 结论：期望收益为 0 也不该投，因为亏 15000 损失的效用（158.11→100）大于赚 15000 增加的效用（100→141.4 附近）。
- 教训：账面盈亏持平 ≠ 对你有价值；风险厌恶来自「钱多一倍的快乐 < 钱少一半的痛苦」。

机制 / 论证

为什么效用能统一解释「价值因人而异」：货币只是手段，效用才是目的；同样 100 万对不同人效用差很多，所以不能用钱直接比「好不好」。
为什么 P2 那么重要：它是「凹性」（风险厌恶）的根源。凹的效用函数让「确定的中值」比「波动的两端平均」更值钱——这是下一讲风险模型和「别把鸡蛋放一个篮子」的数学起点。
为什么用期望效用而不是期望金钱决策：不确定选项的价值不能只看平均钱数，还要看各种结果对应的效用怎么被平均；效用凹时，波动本身就在损耗价值。
例子想说明的链条：P1+P2 → 凹 → 波动损耗效用 → 零期望收益的项目不值得投。

可操作

本文是概念篇，无策略代码。可动手的检验：
- 给自己或组合定一个效用函数形状（如 u=√x、ln x），遇到「期望收益为正但波动大」的项目，先算 E[u] 与 u(当前财富) 谁大再决定投不投。
- 判断一个候选项目：把每种结果概率×该结果的效用加起来，与「不投」的效用比；不要只比期望收益。
与后续链条接上：本篇「正常效用→风险厌恶」直接喂给风险模型（为什么分散化有用）与 MPT/CAPM（投资者都用均值-方差决策的假设来源）。

术语

效用：金钱和物质带来的满足感与便利性。
效用函数 u(x)：财富 x → 效用的函数。
边际效用递减（P2）：钱越多，再添同样数额带来的效用越少。
凹函数：中点函数值 ≥ 两端函数值平均；正常效用函数都是凹的。
预期效用假说：在不确定选项间，选「期望效用」最大的那个。
随机变量：结果不固定、带概率分布的变量（这里是可能的财富变化）。

不确定 / 待验证

「大多数人的效用函数都满足 P1/P2」是经济学理想化假设；现实中人有损失厌恶、参照点等行为偏差（行为金融视角，见风险收益权衡、β与CAPM 开放问题），本文不讨论。
例子中「账面持平就不该投」只在效用函数正常（凹）时成立；风险中性或风险偏好者结论相反。
本文 u=√x 只是示例，不是普适效用形状；不同 u 会让「该不该投」的临界点不同。
raw 的 LaTeX 丢失部分运算符号，本篇按数学惯例复原（如 √25000≈158.11 等数字均照录）。
效用不可直接测量，「效用函数长什么样」只能由选择行为反推——这是整个预期效用框架的实践难点。