效用函数与风险厌恶（预期效用假说）

一句话

钱的价值随持有量递减，所以确定的一笔比波动的同期望更值钱——这就是风险厌恶与分散化好处的共同来源；「把期望收益最大、标准差最小」的 MPT 就假设投资者都是这种「理智」人。

当前理解

效用函数与「正常」性质（量化课堂 24）

• P1 单调：x ≤ y ⇒ u(x) ≤ u(y)，钱多总比钱少好。
• P2 边际效用递减：d≥0、x≤y 时 u(x+d)−u(x) ≥ u(y+d)−u(y)——同样加 1 万，穷时比富时更顶用。
• P2 ⇔ 凹函数 f((x+y)/2) ≥ (f(x)+f(y))/2；可导时 u′≥0、u″≤0。
• 预期效用假说：选项结果不确定时，选 E[u(X)] 最大的那个，不是选期望金钱最大的。
• 例：u=√x、资产 25000；50/50 赚/亏 15000 的项目期望收益 0，但 E[u]=150 < 不动时的 158.11，所以不投。

风险厌恶、风险溢价与分散化（量化课堂 25）

• 零期望收益投资（E[R]=0）对正常效用函数的投资者恒亏期望效用 ⇒ 「正常」= 风险厌恶。
• 投资 X = E[X] +（X−E[X]）；波动部分折损效用，E[X]（风险溢价）必须补回来才值得投。
• 风险用标准差 σ 度量；「理智」投资者 = E 更大且 σ 更小时必选前者——MPT/CAPM 的假设。
• 三条船过河例：1 条船 E[u]=50、2 条船 60.35、3 条船 64.77（均值都 5000，σ 5000→3535→2887）；n→∞ 时 E[u]→u(E[X])≈70.71。均值不变、分布向中间集中、凹函数让预期效用上升——分散化的严格证明。

承受风险的能力随财富变化

• 25 的算例：同一项目（E[X]=4000、u=√x），资产 10000 时 E[u]≈96.21<100 不投；资产 20000 时 149.28>141.42 投。
• 教训：仓位判断不能只看项目期望，还要看你亏不亏得起——这直接通向凯利公式「本金 = 可承受损失」的口径（见 凯利公式（最优下注比例））。

来源

• 效用模型 — 效用函数、P1/P2、凹性、预期效用假说（postId 1772）
• 风险模型 — 风险厌恶、风险溢价、三条船分散化、理智投资者（postId 1774）
• 风险收益权衡、β与CAPM — 风险溢价在宏观（股权溢价之谜）的推论

常见混淆

• 风险厌恶 ≠ 怕风险本身。它是「凹效用」的推论：同样期望收益下，更不喜欢波动；对足够高的风险溢价（E[X]）照样投资。
• 期望收益为正 ≠ 该投。要看 E[u(x₀+X)] 是否大于 u(x₀)；波动大时正期望也可能负效用（25 算例资产 10000 时 E[X]=4000 仍不投）。
• 「高风险高回报」指的是预期收益高，不是「可能赚得多」（max(X)）。50/50 赚亏十万是高风险零回报。
• 分散化降低的是 σ 不是 E：三条船例子 E 恒为 5000。想「分散后收益更高」得靠重新配比（MPT 的有效前沿，见 MPT 模型与有效前沿（均值-方差分析））。
• 行为金融的损失厌恶/参照点 ≠ 这里的风险厌恶。效用模型是规范框架；现实中人有系统性偏差，风险厌恶的「正常」是理想化假设。
• 「正常效用」不等于每个人都用 √x 或 ln x；本文只说形状（凹），不说具体函数。

开放问题

• 效用函数不可直接观测，只能由选择反推；同一人的 u 在不同情境（损失厌恶、框架效应）会漂移——规范模型与实证的距离。
• 25 例说明「财富越多越敢投」，但现实中杠杆越高越容易被强制平仓出局（凯利文的黑天鹅）：理论的可承受风险与市场的流动性约束如何调和？
• 行为视角下（见 risk-return-beta-and-capm 的开放问题），风险溢价是否「应该」那么大——凹效用能解释方向，数字由 风险收益权衡、β与CAPM 的股权溢价之谜接续。
• 分散化收益在危机中衰减（所有资产一起跌）：凹效用框架假设相关性稳定，这一假设破裂时理论还剩多少？

修订记录

• 2026-09-06｜新建：由量化课堂 24/25 两篇提炼，跨链 invest 域的 risk-return-beta-and-capm 与 risk-pooling-and-diversification。