MPT 模型的解析解（上）

这是什么

一篇标准的推导文：把 MPT 优化写成矩阵形式 → 用拉格朗日乘子法求最优权重 → 讨论两个矩阵什么时候可逆（保证解存在且唯一）→ 推出有效前沿的闭合公式与最小方差组合 → 用沪深 300 随机 5 股做完整数值算例。前置知识：线性代数、多元微积分、MPT（post 1991）、拉格朗日乘子法（post 3796，本系列 part 35）。

核心要点

问题与记号

• n 个风险资产，权重 w=(w₁,…,w_n)，约束 Σw_i=1（w_i<0 = 卖空）。
• 组合收益期望 E[r_w] = Σ w_i·r̄_i；方差 Var[r_w] = ΣΣ w_i·w_j·Cov(r_i, r_j)。
• 优化问题：固定预期收益 μ，最小化方差。写成矩阵形式：最小化 ½wᵀΣw，约束 wᵀr=μ、wᵀ1_n=1。
• 系数 ½ 不改变解，只让求导更干净。Σ 是 n×n 协方差矩阵（对角线是各资产方差）。

解的存在性（凸性论证）

• 先证问题有解：方差是凸函数（Var[(X+Y)/2] ≤ (Var X + Var Y)/2，用柯西/平方展开证）；可行集（两个线性约束）是凸集；凸函数在凸集上有极小点。
• 这个结论引用 数学规划简介（post 3293，W7），凸优化细节留到以后的文章。

拉格朗日乘子解法（关键推导链）

• 定义 L = ΣΣ w_i·w_j·Cov − λ₁(Σw_i·r̄_i − μ) − λ₂(Σw_i − 1)。
• 对 w、λ₁、λ₂ 求偏导并令梯度=0，得到三个方程：Σw − λ₁r − λ₂1_n = 0；wᵀr = μ；wᵀ1_n = 1。
• 若 Σ 可逆，由第一式得 w = λ₁Σ⁻¹r + λ₂Σ⁻¹1_n（†）——最优权重是两个基向量的线性组合。
• 把（†）代回两个约束，得 [μ; 1] = [[a, b],[b, c]]·[λ₁; λ₂]，其中 a = rᵀΣ⁻¹r、b = 1ᵀΣ⁻¹r、c = 1ᵀΣ⁻¹1（用 Σ 对称 ⇒ Σ⁻¹ 对称）。
• 若 [[a,b],[b,c]] 也可逆，λ 唯一 → w 唯一 → 它是唯一极小点。

两个矩阵的可逆条件

• Σ 可逆：任何风险资产组合都配不出无风险资产（即没有能配出零方差的组合）⇒ Σ 可逆。若配得出零方差组合，本篇模型退化（原文说留到「有无风险资产版」处理）。
• [[a,b],[b,c]] 可逆：不是所有资产预期收益都相等（否则有效前沿退化成横线）。证明思路：Σ⁻¹ 是正定矩阵；a1_n − br ≠ 0 时，二次型 (a1_n−br)ᵀΣ⁻¹(a1_n−br) > 0，展开得 a(ac−b²)>0 ⇒ ac−b²≠0 ⇒ 行列式非零 ⇒ 可逆。

有效前沿的闭合公式

• 把 Var[r_w] 写成 λ 的二次型，再代 λ = [[a,b],[b,c]]⁻¹[μ;1]，化简得：
• Var = (cμ² − 2bμ + a)/(ac − b²)，即 σ(μ) = √((cμ²−2bμ+a)/(ac−b²))。
• 这就是有效前沿的闭合式（抛物线在 (σ,E) 平面）。

最小方差组合

• 对 σ(μ) 求导令 0：cμ = b ⇒ 最小方差组合的预期收益 μ = b/c。代回优化问题即得权重。

数值算例（沪深 300 随机 5 股、两年日收益）

• r = [1.063, 2.834, 4.133, 2.326, 2.788]×10⁻³；σ = [2.490, 2.700, 3.379, 3.511, 3.607]×10⁻²；Σ（×10⁻⁴）原文给 5×5 全矩阵。
• Numpy 算：a=0.02651、b=6.724、c=2724。
• 有效前沿：σ(μ) = √(99.41μ² − 0.4865μ + 9.593×10⁻⁴)。
• 最小方差组合：μ_min = b/c = 2.447×10⁻³；λ=[−2.776×10⁻¹⁷; 3.640×10⁻⁴]（λ₁≈0，因为此时只受 Σw=1 约束主导）；权重 w=[0.3499, 0.2594, 0.2523, 0.1914, −0.05298]——第五只股票权重为负，要做空。
• 核对：该组合预期收益 = 2.447×10⁻³、σ_min = 1.908×10⁻²，点正好落在有效前沿最顶端（最小风险处）。
• 穷举出的所有可行组合都在有效前沿右侧；只有用解析公式求出的最小方差组合落在前沿上——闭合公式比穷举/蒙特卡洛更快更准。

机制 / 论证

• 为什么最优权重是两个向量的组合：目标（方差）是 w 的二次型、约束是线性，拉格朗日一阶条件把问题变成解线性方程；Σ⁻¹r 与 Σ⁻¹1 是只依赖协方差矩阵与收益的两个「骨架向量」，λ 按目标 μ 在两者间插值。
• 为什么 λ 是 μ 的函数：约束 wᵀr=μ 把 μ 编码进 λ 的线性方程，μ 变 → λ 变 → w 变，整条有效前沿由 μ 一个参数扫出来。
• 为什么 σ(μ) 是抛物线：Var 是 λ 的二次型，λ 又线性依赖 μ，代进去 Var 是 μ 的二次多项式——所以 (σ,E) 图上有效前沿是抛物线。
• 为什么最小方差点收益 = b/c：抛物线顶点处 dσ/dμ=0，等价 cμ=b。
• 算例教训：连「最小风险」组合都要做空第五只股票——严格 MPT 与「只能做多」的现实约束差很远，落地必须加约束（那是 数学规划简介 与 拉格朗日乘子 的话题）。

可操作

• 可直接套用的计算流程（矩阵公式）：
  1. 由资产收益数据算协方差矩阵 Σ、收益向量 r。
  2. 算 a=rᵀΣ⁻¹r、b=1ᵀΣ⁻¹r、c=1ᵀΣ⁻¹1（numpy）。
  3. 任意目标收益 μ：λ = [[a,b],[b,c]]⁻¹[μ;1]，w = λ₁Σ⁻¹r + λ₂Σ⁻¹1。
  4. 有效前沿整条曲线：σ(μ)=√((cμ²−2bμ+a)/(ac−b²))；最小方差组合取 μ=b/c。
• 数值工具：numpy 矩阵运算即可；文中演示了 5 股小规模手算，几十只以上应交给程序。
• 前提检查（原文两条件）：组合里不能有「能复制无风险资产」的冗余；各资产预期收益不能全相等。
• 本文只做「没有无风险资产」版；带 r_f 的资本市场线解析解在「下篇」（本系列后续文章，未入库）。

术语

• 解析解/闭合公式：不用数值迭代、直接由公式算出的精确解（相对穷举/蒙特卡洛）。
• 拉格朗日乘子：把带等式约束的最优化转成无约束问题的工具（λ₁、λ₂ 是乘子）。
• 协方差矩阵 Σ：第 (i,j) 项是资产 i、j 收益协方差的方阵（对角线=方差）。
• 正定/半正定矩阵：对任意非零向量二次型 >0 / ≥0 的对称矩阵；协方差矩阵一定半正定。
• 二次型：形如 xᵀAx 的式子。
• 最小方差组合：有效前沿最左端、波动最小的组合（可能要卖空某些资产）。
• 卖空：借入资产卖出、赌它跌回来再买还（w_i<0）。

不确定 / 待验证

• 原文一处矩阵偏导写成「Σr − λ₁r − λ₂1」（应为 Σw），本篇按前后文与数学惯例记为 Σw；不影响结论 [需要验证]。
• 有效前沿「上半段有效」的边界（μ=b/c 是最小方差点）在本篇推导中自然出现，但与 MPT 模型 的图示描述一致。
• 5 股示例数字与 part 22 的 5 股示例不同（随机抽股/窗口不同），不要混用。
• 「有无风险资产版」的下篇未在本库（post 未知），CML 的解析解与市场组合计算公式以本系列后续文章为准。
• 本篇假设 Σ 可逆且可卖空；现实中协方差估计误差、卖空约束、交易成本都会让解析解偏离实操。
• 引用到 无约束非线性规划：线搜索方法（正定矩阵定义）与 33/35（W7），本篇只用到其结论。

相关

• MPT 模型 — MPT 模型（本篇要解析的优化问题来源）
• CAPM 模型和公式 — MPT 之上推 CAPM（本篇推导链的下一步应用）
• MPT 模型与有效前沿（均值-方差分析） — MPT 与有效前沿共享概念页（含本篇闭合公式）
• 拉格朗日乘子 — 拉格朗日乘子法理论（W7，本篇直接前置）
• 数学规划简介 — 凸函数/凸集与解存在性（W7）
• 聚宽量化课堂（低频量化策略 43 篇） — 量化课堂 43 篇总览