MPT 模型

这是什么

MPT 是 Markowitz 1952 年提出的理论，也叫均值-方差分析。核心思想：风险用收益率的标准差（或方差）衡量，配置目标就是「标准差最小 + 预期收益最大」的折中。文章先给模型与组合的数学（收益、方差公式），再一步步讲有效前沿、加无风险资产、夏普比率、市场组合与资本市场线，最后用 5 只真实股票的 2014–2016 数据算出一个具体的最优组合。

核心要点

模型与假设

• 投资者对风险的认知 = 收益率的标准差；每个资产/组合在「横轴 σ、竖轴预期收益」的平面上是一个点。
• n 个风险资产：r_i 是收益随机变量，E[r_i] 预期，σ_i 标准差。风险资产 = 方差 > 0 的资产；无风险资产 = 收益确定的资产，利率统一为 r_f。
• 组合 P 的权重 w_i 满足 Σw_i = 1；市场完全开放、允许无限制买多卖空，所以 w_i 可以是任意实数（负数=卖空）。
• 组合的数学三件套：
  • 收益 r_P = Σ w_i·r_i；
  • 预期 E[r_P] = Σ w_i·E[r_i]（线性加权）；
  • 方差 Var(r_P) = ΣΣ w_i·w_j·Cov(r_i, r_j)（含所有两两协方差）。

有效前沿（马科维兹子弹）

• 优化问题：对每个预期收益 μ，找方差最小的权重——最小化 Var，约束 E[r_P]=μ 且 Σw_i=1。解法是拉格朗日乘子（本篇不展开，MPT 模型的解析解（上） 展开）。
• 所有最优解画出来是一条抛物线，像子弹尖，叫有效前沿（Markowitz bullet）。
• 曲线最左点是波动最小的位置；这个点以上的上半段才是「有效」的——固定风险挑最大收益会筛掉下半段，所以平常说的有效前沿多指上半部分。
• 5 股演示（沪深 300 随机 5 只，2014–2016 日收盘）：日均收益 r=[0.00106, 0.00283, 0.002323, 0.00279, 0.00125]，标准差 σ=[0.0249, 0.0270, 0.0351, 0.0361, 0.0333]；5×5 协方差矩阵原文给全。
• 穷举可行组合（允许有限卖空）：图上绿=夏普高、紫=夏普低；最左顶点（最低风险组合）σ=0.0212、预期收益 0.00202——风险比 5 只里任何一只都小，收益约为它们的平均。

加无风险资产：夏普比率与资本市场线

• 把 α 份放组合 P、1−α 份放无风险资产：E[r_α]=αE[r_P]+(1−α)r_f，σ_α=α·σ_P（无风险部分没波动）。
• 因为 σ 与 E 都随 α 线性变化，可行点连成一条穿过 (0, r_f) 与 (σ_P, E[r_P]) 的射线。
• 射线坡度 = (E[r_P] − r_f)/σ_P，这就是夏普比率 Sharpe(P)。
• 有效前沿上必有夏普最高的点，叫市场组合 M；它连无风险资产的线坡度最陡，与有效前沿相切，这条切线叫资本市场线（CML）：μ = r_f + S_M·σ。
• CML 的意义：固定标准差，预期收益最高的组合在这条线上；固定预期收益，标准差最低的也在这条线上——理论上的「最佳配置线」。

数值算例（2014–2016、国债年化 4%）

• 无风险日化利率：(1.04)^(1/250) − 1 ≈ 0.00015689。
• 有效前沿上最高夏普 = 0.11885，所以 CML：μ = 0.00015689 + 0.11885·σ。
• 切点（市场组合 M）：日化预期 E[r_M] = 0.0037746，σ_M = 0.030439。
• 想配出日化预期 0.003、风险最低的组合：σ_α = (0.003 − 0.00015689)/0.11885 ≈ 0.023922；α = σ_α/σ_M ≈ 0.786 → 每 1 元配 0.786 元 M + 0.214 元国债。
• 结果：这个组合的预期收益高于 5 只成分股，风险比每一只都低——「收益高又风险低」来自分散化与无风险配比。

机制 / 论证

• 为什么组合收益是线性的、风险不是：收益是 Σw_i·r_i 的期望，线性；方差含两两协方差项，协方差为负会互相抵消，这是分散化的数学来源。
• 为什么有效前沿是曲的：最小化方差解出来的权重随 μ 变化，画在 (σ,E) 平面上形成抛物线；下半段同风险下有更高收益的组合，所以不算「有效」。
• 为什么加无风险资产后变直线：无风险资产无波动，混合后的 σ 与 E 都是 α 的线性函数，两个线性量之比恒定——所以是一根射线，坡度=夏普。
• 为什么市场组合 = 夏普最高点：所有人的最优配置都在「无风险 + 某个风险组合」的射线上；夏普最高的组合让射线最陡、覆盖其余全部组合，市场出清后大家持有的就是它。
• 算例的教训：α≈0.786 意味着「7 成多放股票 M、两成多放国债」就拿到了比任一成分股更高的预期收益、更低的风险——分散化的钱不是白捡的，是协方差给的。

可操作

• 本篇是理论+算例，没有策略代码。可复现的数值流程：
  1. 取沪深 300 股票若干只（文中 5 只随机），2014–2016 日收盘，算日均收益、标准差与 5×5 协方差矩阵。
  2. 穷举（允许有限卖空）或优化求可行组合，画出有效前沿。
  3. 定无风险利率（文中国债年化 4% → 日化 0.00015689），找最高夏普点（0.11885）即市场组合，画 CML。
  4. 给定目标预期收益 μ₀，用 σ_α=(μ₀−r_f)/Sharpe(M) 与 α=σ_α/σ_M 反推 M 与无风险资产的配比。
• 直接做「最小方差/最高夏普权重」的解析公式见 MPT 模型的解析解（上）；现实中可用 numpy/scipy 数值优化代替穷举 [需要验证]。

术语

• MPT：现代资产配置理论（Modern Portfolio Theory），Markowitz 1952 提出。
• 均值-方差分析：只按预期收益与方差/标准差选组合的分析框架。
• 风险资产/无风险资产：波动>0 / 波动=0 的资产。
• 有效前沿：固定预期收益下最小方差的组合曲线（常用上半段）。
• 夏普比率：(E[r]−r_f)/σ，单位总风险的超额收益。
• 市场组合：有效前沿上夏普最高的风险组合；现实中用大盘指数近似。
• 资本市场线（CML）：无风险利率出发、切于市场组合的射线，理论上最优配置都在这条线上。

不确定 / 待验证

• raw 的 LaTeX 多处丢加号（如 E[αr_P+(1−α)r_f] 写成 E[αr_P(1−α)r_f]），本篇按 MPT 通行公式复原；数字示例均照录。
• 5 股算例的时间窗口原文只写「2014 年到 2016 年」，未给具体起止；协方差矩阵来自该窗口日收益 [需要验证]。
• 无风险利率「国债年化 4%」是 2016 语境示例值；250 是 A 股年交易日数近似。
• 「有效前沿无限延伸、右侧所有空间都可通过配置得到」是理论说法，实际受卖空限制与计算量约束。
• 图（子弹/可行集/CML/组合图）都在附图，raw 只有图链；σ=0.0212、夏普 0.11885 等数字来自正文文字。
• 本篇与 MPT 模型的解析解（上） 的 5 股示例数字不同（随机抽的股票不同、窗口可能不同），别当同一组数据。

相关

• MPT 模型的解析解（上） — 本篇优化的解析解（上篇，无风险资产版）
• CAPM 模型和公式 — 在 MPT 之上推 CAPM（系列第四篇）
• 风险模型 — 风险=标准差、投资者「理智」假设的来源（系列第二篇）
• MPT 模型与有效前沿（均值-方差分析） — MPT 与有效前沿的共享概念页
• 风险收益权衡、β与CAPM — 从有效前沿到 β 被定价（Yale 视角互证）
• 聚宽量化课堂（低频量化策略 43 篇） — 量化课堂 43 篇总览