CAPM 模型和公式

这是什么

在 MPT（MPT 模型）讲完「如何配置资产」之后，本篇回答「单个资产如何定价」。它先列出 CAPM 的严格假设，给出公式与每个符号的意义，再用微积分给出公式的完整证明（证明组合 S 与市场组合 M 的配置曲线与资本市场线相切），最后讲现实里怎么用指数估计 β 来配仓。文风偏教科书：定义→定理→证明→应用。

核心要点

模型的来龙去脉与假设

• CAPM 全称 Capital Asset Pricing Model，资本资产定价模型。由 Treynor、Sharpe、Lintner、Mossin 几人分别提出，搭建在 Markowitz 的 MPT 之上。
• 假设很理想：投资者只看收益的预期值和标准差，且完全理智；市场完全公开、信息与机会平等；人人都能以同一个无风险利率无限借入或贷出。
• 后果：所有投资者解同一个优化问题，得到同一条有效前沿和资本市场线；大家都按一定比例持有「无风险资产 + 市场组合 M」。M 因此是名副其实的全市场组合，它的风险就是系统性风险（大盘一起波动带来的、躲不掉的风险）。

CAPM 公式与每个符号

• 公式：E[r_S] = r_f + β_S·(E[r_M] − r_f)。
• r_S：资产 S 的收益率（随机变量）；E[r_S] 是它的预期收益。
• r_M：市场组合的收益率（随机变量）。
• r_f：无风险利率（比如国债利率）。
• β_S：S 对市场风险的敏感度，β_S = Cov(r_S, r_M) / Var(r_M)。分母是市场收益的方差，分子是 S 与市场收益的协方差。
• 白话拆解：r_f 是「钱的时间价值」——不承担任何风险也有的收益；β_S·(E[r_M] − r_f) 是风险补偿——承担 β_S 倍的系统性风险，就拿 β_S 倍的市场溢价。
• 关键断言：S 的预期收益完全由 β_S 决定，与 S 自己的标准差 σ_S 无关。哪怕 S 波动极大，只要它和市场相关性很低，预期收益也很低——因为它的风险能被组合分散掉，市场不为它付钱。

夏普比率的关系式

• 由 CAPM 可推：Sharpe(S) = Corr(r_M, r_S)·Sharpe(M)。
• Sharpe = (E[r] − r_f)/σ，单位风险换来的超额收益。M 是所有风险组合里夏普最高的。
• 含义：S 与市场越相关，它的夏普越接近市场的夏普——「收益比风险的比例越大」。完全无关的资产夏普趋近 0。

公式的证明（关键步骤）

• 思路：把 α 份 S 和 1−α 份 M 配成组合 A_α。当 α=0 时 A_0 就是市场组合 M。
• 因为所有可行配置都在资本市场线下方，A_α 曲线与资本市场线在 M 点相切；切线的坡度就是 Sharpe(M) = (E[r_M] − r_f)/σ_M。
• A_α 的收益与标准差公式：E[r(α)] = αE[r_S] + (1−α)E[r_M]；σ(α) = √(α²σ_S² + (1−α)²σ_M² + 2α(1−α)Cov(r_M, r_S))。
• 用链式法则算 dE/dσ 在 α=0 的值，令它等于 Sharpe(M)，化简两步就得到 E[r_S] = r_f + β_S·(E[r_M] − r_f)。原文说「擦干净双手，完成了证明」。
• 论证关键：正是「S 与 M 的协方差」出现在最终公式里，S 自己的 σ_S 被消掉了——这印证了「定价的是协方差不是波动」。

应用：理论悖论与现实的 β 估计

• 悖论：在 CAPM 假设下人人都已持有市场组合 M，没人需要单独给资产定价。现实中人们效用标准不同、资产配置各异，没有公认的市场组合，公式才派上用场。
• 现实做法：拿一个概括市场的指数（如沪深 300）当市场组合，用历史收益算每只资产的 β。
• β 估计（500 天口径）：β_S = Σ(r_M(t)−μ_M)(r_S(t)−μ_S) / Σ(r_M(t)−μ_M)²，μ 是这 500 天年化日均收益率的均值。分母是市场收益的方差，分子是协方差——与定义式同构。
• 三只股票例子：β₁=0.5、β₂=1、β₃=2，敏感度低/中/高。预测大盘向上→持股票 3（赚约 2 倍大盘）；判断不清→持股票 2（收益与大盘持平）；预测下跌→持股票 1（只亏大盘一半）或干脆空仓。

机制 / 论证

• 为什么说 σ_S 不决定预期收益：CAPM 的世界里所有投资者一起持有 M，S 的自身波动在组合里被平均掉、不构成系统性风险；市场只补偿「你给 M 增加的那部分风险」，也就是协方差 β。
• 为什么相切能推出公式：S 与 M 的任意混合曲线的坡度在 M 点必须等于资本市场线的坡度（否则可以构造出超越市场的组合）。把坡度相等写成方程，一解就出 CAPM——所以证明本质是「无套利/无占优」论证。
• 为什么 Sharpe 关系成立：把 CAPM 代入 Sharpe(S) 的定义，分子变成 β_S·(E[r_M]−r_f)，再除以 σ_S，用协方差定义展开正好等于相关系数×Sharpe(M)。
• 现实 β 是估计出来的：样本窗口（500 天）、用哪个指数当 M、用日收益还是年化日均收益，都会改变 β 数值——CAPM 是干净的理论，落地全是口径选择。

可操作

• 用 CAPM 给资产配仓的三步（本文口径）：
  1. 选市场组合代理（如沪深 300 指数）。
  2. 取过去 500 天年化日均收益率，按 β = Cov(r_S, r_M)/Var(r_M) 估计每只股票的 β。
  3. 按对大盘趋势的判断选 β：看多选高 β（如 2，放大到约 2 倍大盘）、看不清选 β≈1、看空选低 β（如 0.5，损失约为大盘一半）或空仓。
• 本篇是理论篇，无聚宽代码。落地公式（Cov/Var、回归）见 CAPM 模型应用策略（用 α 选股）与 part 32（OLS 回归，W7）。
• β 的符号口径提醒：原文称 β 是「敏感度」，用协方差/方差定义；不要与「相关系数」混淆（相关系数还要除以各自标准差，见「术语」）。

术语

• CAPM：资本资产定价模型，给单个风险资产定预期收益率的均衡模型。
• 系统性风险：整个市场一起波动带来的、无法靠分散消除的风险；CAPM 认为只有它被定价。
• β（贝塔）：资产收益与市场收益的协方差 ÷ 市场收益方差，度量「市场动 1% 它大概动 β%」的敏感度。
• 无风险利率 r_f：没有违约风险资产的收益率，常用国债利率近似。
• 市场组合 M：全市场按市值权重持有的组合（理论概念）；现实中用大盘指数近似。
• 夏普比率：超额收益 ÷ 标准差，单位总风险换来的超额收益。
• 协方差/方差：衡量两个变量一起变（协方差）或自身波动（方差）的统计量。
• 相关 ≠ 敏感：相关系数 = Cov/(σ_S·σ_M)，值域 [−1,1]；β 不带这个归一化。

不确定 / 待验证

• CAPM 假设（完全理智、单一无风险利率、无限借贷）「偏于牵强」，原文自己承认结论「常与实验证据相悖」——它作为奠基理论的价值大于作为实证预言。
• β 估计的「500 天年化日均收益率」是本文例子口径，不是标准；窗口长度、指数选择都会影响结果 [需要验证]。
• 「β=2 就赚 2 倍大盘」是模型的一阶近似，实际还受个股 α、手续费、借贷约束影响。
• 本篇称自己是「一系列文章中的第三篇」，但系列列表明明四篇（效用/风险/MPT/CAPM），此处「第三篇」应为笔误 [需要验证]（指四篇里的收尾篇）。
• 文中引用的 MPT/资本市场线概念是 MPT 模型 的内容；没读过 MPT 的读者应先读 22。

相关

• MPT 模型 — MPT 模型（本篇直接前置，市场组合/有效前沿来自那里）
• CAPM 模型应用策略 — CAPM 的应用：α 选股
• CAPM+APT 多因子模型 — CAPM 加 α 的多因子预测
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